Навчався обдарований хлопець в Петербурзькій Академії мистецтв (1874-1882). Під час навчання Сластьон разом із Порфирієм Мартиновичем щороку мандрували Україною, вивчаючи побут місцевого населення, робили замальовки, збирали фольклорні та етнографічні матеріали. Так, у 1875-76 рр. під час літніх поїздок Опанас відвідав Пирятинський та Лохвицький повіти на Полтавщині. Тут намалював портрети кількох кобзарів та записав від них багато народних дум.
У 1900 р. покинув Петербург і переїхав до Миргорода, де отримав посаду викладача у Миргородській художньо-промисловій школі імені Миколи Гоголя. Активно брав участь у громадському житті міста.
З 1918 року О. Сластьон очолював комісію зі збору культурних і мистецьких цінностей при відділі народної освіти. Завдяки його роботі було збережено значну частину цінностей, які перебували в маєтках у Хомутці (садиба Муравйових-Апостолів), Великих Сорочинцях (колишні маєтності Гоголів-Яновських), Великій Обухівці (садиба Капністів), Кибинцях та Яреськах (маєтності Трощинських). На основі зібраного матеріалу та власної мистецької колекції Сластьона в 1920 р. було відкрито «Науковий і художньо-промисловий музей» (близько 600 експонатів), який згодом став основою для Миргородського краєзнавчого музею, а тепер носить його ім’я.
Ще з 1870-х рр. Опанас Георгійович активно досліджував кобзарство, співпрацював із Климентом Квіткою та Лесею Українкою. Особливою заслугою Опанаса Сластьона є те, що багато кобзарських дум він записав на фонограф (перші записи зробив у 1903 р.). Філарет Колесса використав ці записи у «Матеріалах до української етнології». За сприяння Опанаса Георгійовича у Миргороді у 20-х рр. XX ст. було організовано селянську капелу бандуристів, згодом реорганізовану у Першу селянську капелу бандуристів імені Тараса Шевченка.
О. Сластьон є одним із засновників нового на той час стилю архітектури ⎼ український модерн. Впродовж 1910 ⎼ 1913 рр. він зпроєктував низку громадських будинків в українському стилі, зокрема будинки кооперативних товариств, споруди на території Миргородського курорту, будинок земського лікаря у Чорнухах, будинки у Великих Сорочинцях тощо. У 1920-х роках за проєктом митця збудовано будинок курорту в Миргороді (не зберігся) та ще низку споруд. Також підтримував Василя Кричевського в боротьбі за український національний стиль будинку земства у Полтаві.
У 1913 ⎼ 1916 рр. О. Сластьон створив серію проєктів шкіл для Лохвицького земства на 1, 2, 3 та 4 класи. Ці школи мають характерну ознаку — шестикутні вікна і вежі, цегляний декор на фасаді повторював український народний візерунок. Проєкти набули найбільшого поширення у Лохвицькому та Лубенському повітах. На сьогодні відомо щонайменше 53 будівлі земських шкіл. Співробітниками Полтавського краєзнавчого музею імені Василя Кричевського вперше було досліджено ряд збережених будинків шкіл при підготовці «Зводу пам’яток історії та культури України» у 2009 р. На жаль, більшість будівель знаходиться у занедбаному стані і руйнується. Проте завдяки ентузіастам дослідникам, науковцям, архітекторам вдалося привернути увагу до проблеми і від 2018 р. деякі «Школи Лохвицького земства» вже мають статус «пам’ятки місцевого значення», на них виготовляється охоронна документація.
Помер митець та громадський діяч 24 вересня 1933 р.
Похований на Троїцькому кладовищі м. Миргорода.
